Cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng lớp 9 một cách đơn giản và hiệu quả

Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong mặt phẳng Oxy, ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Xác định tọa độ của điểm và phương trình của đường thẳng.
Bước 2: Xác định hình chiếu của điểm lên đường thẳng bằng cách tìm giao điểm giữa đường thẳng và đường thẳng vuông góc với nó qua điểm đó.
Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm đến hình chiếu của nó bằng cách sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm.
Ví dụ: Cho điểm M(3,4) và đường thẳng y = 2x – 1. Ta có thể tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng như sau:
Bước 1: Tọa độ của điểm là M(3,4) và phương trình của đường thẳng là y = 2x – 1.
Bước 2: Hình chiếu của điểm lên đường thẳng là H. Ta sẽ tìm giao điểm giữa đường thẳng y = 2x -1 và đường thẳng vuông góc có phương trình y = (-1/2)x + c. Ta có:
2x – 1 = (-1/2)x + c
2.5x = c
Do H là hình chiếu của M lên đường thẳng nên tọa độ của H là (x, 2x – 1). Thay vào bất kỳ một trong hai phương trình trên ta có:
(3, 4) = ((4/5)c, (3/5)c + 1)
Từ đó giải hệ phương trình ta có: x = 1 và c = 5/2.
Vậy tọa độ của H là (1, 1).
Bước 3: Khoảng cách từ M đến H bằng cách sử dụng công thức khoảng cách của hai điểm:
d(M, H) = sqrt[(x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2]
= sqrt[(1 – 3)^2 + (1 – 4)^2]
= sqrt[10]
Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng y = 2x – 1 là sqrt[10].

Để tính khoảng cách từ một điểm M có tọa độ (xM, yM) đến một đường thẳng Δ có phương trình ax + by + c = 0 trong hệ tọa độ Oxy, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm vector pháp tuyến của đường thẳng Δ. Vector pháp tuyến của Δ có thể tìm bằng cách lấy vector có hai thành phần a và b, có chiều dài bằng độ dài của Δ và hướng đối diện với chiều của hệ tọa độ (trục x và trục y). Cụ thể, nếu a ≠ 0, ta có thể lấy vector pháp tuyến là \\vec{n} = (a, -b)/\\sqrt{a^2 + b^2}; nếu a = 0 và b ≠ 0, ta có thể lấy vector pháp tuyến là \\vec{n} = (0, 1); nếu cả a và b đều bằng 0 thì đường thẳng Δ không có vector pháp tuyến.
Bước 2: Tìm vector \\vec{u} từ điểm M đến một điểm N nào đó trên đường thẳng Δ. Vector \\vec{u} có thể là vector từ M đến một điểm cắt Δ (nếu Δ cắt trục tọa độ Oxy) hoặc là vector kết nối M đến một điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên Δ (nếu Δ không cắt Oxy).
Bước 3: Tính độ dài của vector kết nối từ điểm M đến điểm H bằng cách tính độ dài của vector \\vec{v} = \\vec{u} – (\\vec{u} \\cdot \\vec{n}) \\vec{n} với \\vec{n} là vector pháp tuyến tìm được ở bước 1.
Bước 4: Khoảng cách từ M đến Δ chính là độ dài của vector \\vec{v} tìm được ở bước 3.
Kết quả tính được là giá trị dương nếu điểm M nằm về phía positive side của đường thẳng Δ, và giá trị âm nếu M nằm về phía negative side của Δ.

Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ, ta cần xác định 2 yếu tố sau đây:
1. Tọa độ điểm M.
2. Phương trình của đường thẳng Δ.
Sau khi xác định được hai yếu tố này, ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1: Xác định vector pháp tuyến của đường thẳng Δ.
Để làm được điều này, ta có thể sử dụng phương pháp sau đây:
– Nếu phương trình của đường thẳng Δ là dạng tổng quát Ax + By + C = 0, thì vector pháp tuyến của Δ chính là vector n = (A, B).
– Nếu phương trình của đường thẳng Δ đã được chuyển về dạng đường thẳng chính tắc (hay còn gọi là dạng điểm – vector), thì vector pháp tuyến của Δ chính là vector n nằm trong phép phép phẳng chứa Δ sao cho n và vector đạo hàm của Δ không cùng phương.
Bước 2: Tính vector bắt đầu từ M đến một điểm nằm trên Δ.
Để làm được điều này, ta cần lấy một điểm P bất kỳ nằm trên Δ (tức là thay thế x và y trong phương trình của Δ bằng giá trị x và y của P) và tính vector MP.
Bước 3: Tính khoảng cách từ M đến Δ.
Khoảng cách từ M đến Δ bằng độ dài của vector chiếu hạ từ điểm M lên đường thẳng Δ.
Để tính chiếu hạ của vector MP lên n, ta có công thức sau:
proj_MN(P) = (MP•n/||n||^2) × n
Trong đó:
– MP là vector bắt đầu từ M đến P.
– n là vector pháp tuyến của Δ đã tính ở bước 1.
– ||n|| là độ dài của vector n (tính theo công thức ||n|| = sqrt(A^2 + B^2) nếu phương trình của Δ là Ax + By + C = 0).
Sau khi tính được proj_MN(P), khoảng cách từ M đến Δ sẽ bằng độ dài của proj_MN(P), tức là:
d(M,Δ) = ||proj_MN(P)||
Vậy đó là các bước để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ.

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian Oxy, ta cần:
Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng Δ. Phương trình của đường thẳng Δ có dạng ax + by + c = 0, với a, b, c là các hệ số.
Bước 2: Cho điểm M(xM, yM) là điểm cần tính khoảng cách đến đường thẳng Δ.
Bước 3: Xác định hệ số góc của đường thẳng Δ bằng cách tính tg α = -a/b.
Bước 4: Tìm phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng Δ và đi qua điểm M. Phương trình của d có dạng y – yM = (-1/tg α)(x – xM).
Bước 5: Tìm điểm H(xH, yH) là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng Δ.
Bước 6: Tính khoảng cách MH bằng công thức : MH = sqrt[(xM-xH)^2+(yM-yH)^2].
Vậy, khi đã làm đúng các bước trên, chúng ta đã có thể tính được khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ.

Ví dụ bài tập: Tính khoảng cách từ điểm M(3,4) đến đường thẳng Δ với phương trình 2x – 3y + 7 = 0.
Giải:
Bước 1: Xác định hệ số a, b, c của phương trình đường thẳng Δ.
Trong phương trình 2x – 3y + 7 = 0, ta có:
a = 2, b = -3, c = 7.
Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng.
Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng, ta sử dụng công thức sau:
d(M,Δ) = |axM + byM + c| / √(a^2 + b^2)
Trong đó:
– axM + byM + c là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng, với xM và yM lần lượt là tọa độ của điểm M.
– √(a^2 + b^2) là độ dài của vector pháp tuyến của đường thẳng Δ.
Thay các giá trị vào công thức:
d(M,Δ) = |2×3 + (-3)x4 + 7| / √(2^2 + (-3)^2) = |6 – 12 + 7| / √13 ≈ 1,53.
Vậy khoảng cách từ điểm M(3,4) đến đường thẳng Δ với phương trình 2x – 3y + 7 = 0 là khoảng cách d(M,Δ) ≈ 1,53 đơn vị.